O Propósito da Matemática em uma Educação Clássica

Por Thomas Treloar

Um dos principais objetivos da matemática sempre foi revelar e descrever uma ordem no mundo natural. A matemática, como linguagem, revela essa ordem e harmonia, mas também deve ser levantada desta fundação concreta e trazida para o mundo do abstrato...

O ressurgimento do interesse pela educação clássica tem sido evidente nos últimos anos. Isto deveu-se, em parte, a uma série de escritos influentes sobre a recuperação do conhecimento "perdido" em nossa cultura que, por sua vez, inspirou um número crescente de escolas fundadas em um modelo clássico. Ao examinar a paisagem da educação clássica, torna-se evidente que existe uma visão clara disponível para o propósito do estudo de humanidades. O que não parece tão claro, porém, é a natureza da matemática em uma educação clássica.

Como se aproxima a matemática? A matemática é uma ciência? É um conjunto de habilidades para ser memorizadas? O estudo da matemática pode ser mais profundamente integrado a uma educação clássica? Em caso afirmativo, isso é necessário ou desejável? Quase todos concordam que o estudo da matemática pertence a uma educação clássica, mas o propósito deste estudo nem sempre é claro.

A matemática pode ser vista de muitas direções diferentes. Eu cito Morris Kline de seu livro Mathematics for Liberal Arts:

Talvez possamos ver mais facilmente por que se deve estudar matemática se tomarmos um momento para considerar o que é a matemática. Infelizmente, a resposta não pode ser dada em uma única frase ou um único capítulo. O assunto tem muitas facetas ou, alguns dirão, é Hydra-encabeçado. Pode-se considerar a matemática como uma linguagem, como um tipo particular de estrutura lógica, como um corpo de conhecimento sobre número e espaço, como uma série de métodos para derivar conclusões, como a essência do nosso conhecimento do mundo físico ou simplesmente como uma atividade intelectual divertida.

Matemática é qualquer um destes ou alguma combinação, dependendo do contexto. O objetivo deste ensaio é abordar como a matemática deve ser vista para obter uma imagem mais clara do objetivo final de seu estudo em uma educação clássica. Esta discussão envolverá primeiramente a matemática superior, ou a matemática vista tipicamente nos oitavos aos duodécimos graus. Em um artigo futuro, eu planejo discutir matemática elementar em uma educação clássica.

Qual é o propósito do estudo da matemática em uma educação clássica? Como diz uma escola clássica:

O estudo da matemática deve incutir nos alunos uma sensação cada vez maior de admiração pela maneira profunda em que o mundo exibe ordem, padrão e relação. A matemática é estudada não porque é primeiramente útil e então bonita, mas porque revela a ordem bonita inerente no cosmos. (De "o plano da instrução da escola clássica de St Jerome," Hyattsville, DM)

Johannes Kepler, físico alemão do século XVII, mais conhecido por seu trabalho sobre o movimento planetário, disse algo muito semelhante quatrocentos anos atrás:

O principal objetivo de todas as investigações do mundo externo deve ser descobrir a ordem racional e a harmonia que lhe foi imposta por Deus e que Ele revelou-nos na linguagem da matemática ... Assim como o olho foi feito para ver a cor e a ouvido para ouvir sons, então a mente humana foi feita para entender a quantidade.

Um dos principais objetivos da matemática sempre foi revelar e descrever uma ordem no mundo natural.

Se olharmos para os primórdios da matemática, digamos quatro mil a cinco mil anos atrás, veremos o que as civilizações egípcia e babilônica oferecem em matemática. Eles ofereceram uma abordagem muito prática à matemática respondendo a perguntas que raramente se estendiam além do que era necessário para operar na vida diária. Durante este tempo, a aritmética e a álgebra rudimentares foram construídas para responder a perguntas no comércio e na agricultura. Os propósitos úteis para os quais empregavam a matemática eram: troca monetária, juros simples e compostos, cálculo de salários, expressão de pesos e comprimentos, divisão de heranças e determinação de volumes de celeiros e áreas de campos.Sua matemática também foi usada para estudar astronomia, tornando possível a criação de calendários para prever com precisão ocorrências naturais como inundações, algo necessário para fins agrícolas. Calendários precisos também poderiam ser usados ​​para fins de cerimônia religiosa, como construir templos para que o sol brilhasse no altar no momento apropriado.Estas civilizações desenvolveram uma aritmética elementar, notação, alguma álgebra precoce, e fórmulas empíricas básicas na geometria.

Ao considerar a matemática clássica, os gregos devem ser o foco principal de nossa atenção.Na verdade, a principal razão para discutir matemática anterior é entender o que os gregos herdaram eo que deixaram para a sua posteridade.

Enquanto os egípcios e babilônios produziram uma matemática bastante rudimentar e muito prática baseada na experiência, os gregos removeram a matemática de suas bases práticas.Um passo importante no avanço da matemática foi o reconhecimento de que a matemática - em números e figuras geométricas - pode ser tratada no resumo. Este não foi um pequeno passo no pensamento humano, e este passo inicial foi atribuído à Escola Pitagórica da Grécia antiga.

Definido no resumo, o raciocínio pode agora assumir para formar a base do pensamento matemático. Um dos maiores presentes que os gregos nos deram é este dom de raciocínio aprimorado e esse raciocínio foi introduzido, aperfeiçoado e aperfeiçoado em matemática. Os resultados matemáticos tornaram-se uma cadeia de proposições, surgidas de suposições preliminares, e avançadas pelo raciocínio. Provavelmente a melhor ilustração disso é de Euclides Elements , um conjunto de treze volumes que abrangem geometria do plano e do espaço, bem como muitos resultados em teoria dos números.

Em aproximadamente 300 aC, Euclides reuniu muito do que era conhecido na matemática até aquele momento e organizou-a de tal forma que, começando com uma pequena lista de afirmações abstratas assumidas como verdadeiras e armadas com o raciocínio, ele reconstruiu esse conjunto de conhecimentos Como uma cadeia estendida. Ele fez isso de tal forma que osElementos se tornaram o livro-texto padrão em geometria para os próximos vinte e dois cem anos. É só nos últimos anos, aproximadamente, nos últimos cem anos, que o Elements foi descartado como leitura obrigatória para todas as pessoas educadas.

Com o fortalecimento da conexão entre matemática e raciocínio pelos gregos, a matemática se tornaria próxima da filosofia, da teologia e das ciências naturais. Considere o seguinte a partir de Platão República (Livro VII):

O conhecimento que a geometria procura é o conhecimento do eterno, e não de qualquer coisa perecível e transitória. A geometria atrairá a alma para a verdade, e criará o espírito da filosofia, e levantará aquilo que agora é infelizmente permitido cair. Portanto, nada deve ser mais severamente estabelecido do que os habitantes de sua bela cidade deve, por todos os meios, aprender geometria.

Também a partir da República (Livro VII) sobre a formação de líderes:

Devemos esforçar-nos para que aqueles que são os principais homens do nosso Estado para ir e aprender aritmética, não como amadores, mas eles devem continuar o estudo até que vejam a natureza dos números com a mente apenas; ... a aritmética tem um efeito muito grande e elevador, obrigando a alma a raciocinar sobre o número abstrato, e se rebelando contra a introdução de objetos visíveis e tangíveis no argumento.

A abstração que os gregos trouxeram à matemática nunca deve ser descontada em importância. Eu tomo esta citação estendida da matemática para artes liberais por Morris Kline:

As abstrações da matemática tinham uma importância especial para os gregos.Os filósofos indicaram que, para passar de um conhecimento do mundo da matéria para o mundo das idéias, o homem deve treinar sua mente para entender as idéias. Essas mais altas realidades cegam a pessoa que não está preparada para contemplá-las. Ele é, para usar o famoso símile de Platão, como aquele que vive continuamente nas sombras profundas de uma caverna e de repente é trazido à luz do sol. O estudo da matemática ajuda a fazer a transição da escuridão para a luz. A matemática é, de fato, ideal para preparar a mente para formas superiores de pensamento porque, por um lado, pertence ao mundo das coisas visíveis e, por outro lado, trata de conceitos abstratos. Assim, através do estudo da matemática, o homem aprende a passar de figuras concretas para formas abstratas; Além disso, este estudo purifica a mente tirando-a da contemplação do sensível e perecível e conduzindo-a às idéias eternas.

Que a matemática foi considerada central para uma educação clássica também pode ser visto através do Quadrivium. O Quadrivium consiste em quatro matematicamente baseados em primeiro lugar estabelecidos pelos gregos e constitui a base da educação de artes liberais medieval após o estudo do Trivium. O Quadrivium consiste em aritmética, música, geometria e astronomia que foram descritos por Proclus da seguinte maneira:

Aritmética como o estudo da quantidade

Música (harmônicos) como a relação entre quantidades

Geometria como o estudo de magnitudes em repouso

Astronomia como o estudo de magnitudes em movimento

Embora possa ser argumentado que a matemática como seu próprio assunto começou com os gregos, certamente não terminou aí. Após as contribuições gregas, houve muito pouco avanço na matemática até o século XV. Na verdade, até então grande parte da matemática grega havia sido perdida para o mundo ocidental e foi durante a Renascença que muito dela começou a ser recuperada.

Nos séculos XVI e XVII, figuras como René Descartes e Pierre de Fermat, impulsionadas ainda mais pelo desejo de descobrir a ordem no universo, tiraram a geometria da abstração e do raciocínio puro, introduzindo um novo cenário, hoje conhecido como o sistema cartesiano sistema de coordenadas. Os sistemas de coordenadas permitiram mais facilmente medições de eventos naturais no universo e abriram o caminho para grandes nomes como Newton e Leibniz, que desenvolveram essas idéias em Cálculo.

Foi esse período que ajudou a introduzir a "matemática" da ciência, uma tentativa cada vez maior de descobrir a ordem no universo físico através da linguagem da matemática. Isso levou a um tremendo crescimento no conhecimento em matemática e ciência, mas esses avanços têm um custo.

Nos tempos modernos, a matemática é vista frequentemente como uma língua útil primeiramente aos cientistas. O aperfeiçoamento das habilidades de raciocínio - um componente crítico de uma educação liberal - é muitas vezes subestimado ou completamente negligenciado na educação matemática. A estrutura coesiva da matemática é muitas vezes descartada para chegar mais rapidamente aos resultados "úteis", mas então esses resultados "úteis" são muitas vezes inúteis porque essa linguagem da matemática é sem sua estrutura coesiva e, portanto, a ordem do universo permanece obscura .

Com a ênfase repetida na utilidade, pode ser que a educação matemática moderna esteja muito mais próxima do espírito dos egípcios do que dos gregos.

Para dar uma visão geral da base de um currículo de matemática superior clássico, o currículo deve estar interessado na estrutura de conceitos matemáticos no resumo, e fornecer a oportunidade de começar a ver como esses conceitos fornecem insights sobre como vemos o mundo ao nosso redor . Acima de tudo, sendo fiel aos ideais gregos, o currículo de matemática deve proporcionar aos alunos a oportunidade de compreender melhor a natureza abstrata da matemática, aprimorar suas habilidades de raciocínio e ver a ordem inerente à matemática.

Em termos de conteúdo, os alunos explorariam não apenas a matemática grega, mas também a matemática à medida que progredia nos séculos XVII e XVIII, muito brevemente.

A Álgebra I nos permite levar o nosso conhecimento de aritmética elementar, organizá-lo e colocá-lo no cenário de Descartes.

A geometria nos permite aprimorar nosso raciocínio desenvolvendo suas proposições sistematicamente a partir de um conjunto inicial de postulados. Usando o raciocínio, o corpo de conhecimento é construído de uma maneira semelhante à forma como ele foi organizado com habilidade por Euclides e seus contemporâneos.

A álgebra II e a trigonometria nos permitem colocar nossa compreensão da geometria em um quadro analítico no espírito de Descartes, desenvolvendo o campo da geometria analítica que, por sua vez, é usado para desenvolver uma descrição do movimento e outras questões de ordem no universo.

Devo acrescentar que o currículo clássico deveria incluir discussões sobre as configurações originais que levaram ao desenvolvimento de conceitos matemáticos. Estes poderiam incluir geometria projetiva, que surgiu como uma ferramenta para os artistas em representar o mundo real e passou a fornecer inovação na cartografia. Os conceitos matemáticos que se seguiram a partir do estudo do som levaram a uma maior compreensão da luz e corrente elétrica. A infinidade de calculadoras nos tempos modernos significou uma mudança no uso de logaritmos, mas ainda é incrivelmente valioso para os alunos a entender como e por que eles foram originalmente criados. Colocar esse contexto na sala de aula permite que os alunos vejam a inter-relação de várias idéias em matemática e ciência e compreendam melhor a criatividade envolvida na descoberta desses conceitos.

Naturalmente, este currículo poderia potencialmente incluir um estudo do cálculo. Se os alunos foram devidamente preparados, então cálculo pode muito bem ser um passo adequado.Gostaria de alertá-lo, porém, contra seguir a tendência atual na educação de torná-lo um objetivo para empurrar o maior número possível de alunos através de cálculo durante o ensino médio para seu próprio bem. Isto é feito frequentemente para o sake do prestige, desde que o cálculo é visto como difícil e útil em muitos campos. De acordo com a experiência, esta prática muitas vezes deixa grandes lacunas na educação dos alunos.

Permita-me também oferecer o aviso de que encontrar e adotar livros e suplementos apropriados para matemática superior pode ser uma tarefa difícil. Acredito que os materiais mais prontamente disponíveis acabam deixando uma decisão entre o mínimo dos males. Materiais apropriados estão disponíveis, mas eles levam tempo e esforço para montar.

O currículo de matemática em uma educação clássica procurará promover a compreensão da ordem e da harmonia no universo. A matemática, como linguagem, revela essa ordem e harmonia, mas também deve ser levantada desse fundamento concreto e trazida ao mundo do abstrato. O estudo da matemática envolverá este esforço treinando os alunos no contexto em que a descoberta de seus conceitos surgiu, bem como o raciocínio que fornece sua estrutura.Embora o estudo da matemática tenha ficado aquém deste propósito nos tempos modernos, sua implementação aprofundará uma educação clássica.

O filósofo e matemático do século XVII René Descartes fez a seguinte observação a respeito da matemática de seu próprio dia.

Mais tarde pensei como poderia ser que os pioneiros mais antigos da Filosofia em eras passadas se recusassem a admitir no estudo da sabedoria qualquer um que não fosse versado em Matemática .... Fui confirmado na minha suspeita de que eles tinham um conhecimento de uma espécie de Matemática muito diferente da que passa corrente em nosso tempo.

Quase trezentos e cinquenta anos atrás, Descartes lamentou um conhecimento perdido em matemática. Ele entendeu que a matemática transmitida de seus predecessores era apenas uma sombra do que tinha sido anteriormente. Essa observação é tão apropriada hoje como na época de Descartes.

Thomas Treloar é Professor Associado de Matemática na Hillsdale College.